中学でもわかる！円周率の求め方⇒モンテカルロ法をPythonプログラミングでシミュレーションしてみる。

【動画】円周率の求め方／モンテカルロ法⇒Pythonプログラミング

■■文字おこし解説■■

円周率の例で説明していくね。

まず、円周率は円の直径に対する円周の長さの比率のことなんだ。
そして、円の面積は　円周率×半径の２乗　だったよね。
公式で1表すと円の面積をS　半径をｒ　円周率をπとした場合
Ｓ＝πｒ２乗だね。

だから、半径を１とした場合　π×１×１＝πとなり。
円周率と円の面積とがイコールとなるんだ。

円の中心をX軸　Y軸共に０とした場合
円の上の部分は　Xは０　Yは１　円の右側は　Xは１　Yは０となる。
右斜め上はXは１　Yも１　となる。

その４点を結ぶと、長さが１の正方形が描ける。

つぎに、その正方形の中にランダムに点を打っていく
とりあえず、２０個ランダムに点を打つね。

その打った点について、円の内部に存在する点を数える。

今回は２０このうち　１５個が円の内側に入ったとする。

正方形の面積は１×１で１だよね。

その面積に対して、均等に点が打たれたとした場合、
円の面積は　２０分の１５で表される

つまり、正方形全体に対する、円の内部の点の割合を円の面積として考えるんだ。

今回は円全体に対する面積の４分の１の面積を求めたわけだから。
これを４倍すれば円全体の面積となる。

そして、はじめに話したように、半径１の円の面積が円周率と一致するから、

今回の場合は
２０分の１５　×４　が円周率となる。

さっきのサイコロと同じように点の数を増やすほど、精度が上がり、皆が知っている３．１４１５の円周率に近づいていく。

ちなみに、点が円の内部にあるかどうかは置いた点のｘとｙの座標を確認して

ｘの２乗プラスｙの２乗の値が１より小さければ、円の内側となる。
つまりｘの２乗プラスｙの２乗が１の場合は点が円周上に位置しているんだ。

import numpy.random as rd
import matplotlib.pyplot as plt
totalcount = 2000  # ランダムに打つ点の総数
incount = 0  # 円に入った点の数
for i in range(totalcount):
   x = rd.random()  # 0-1 の範囲の値
   y = rd.random()  # 0-1 の範囲の値
   if x**2 + y**2 < 1.0:
       incount += 1
       plt.scatter(x, y, c="red")  # 赤色の点（円内部）
   else:
       plt.scatter(x, y, c="blue")  # 青色（円外部）
print(" 円周率:", incount * 4.0 / totalcount)  # 円周率
plt.title("Monte Carlo method")
plt.show()